LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA 

Materi Logika matematika diajarkan di bangku SMA. Materi matematika bab logika ini termasuk gampang-gampang susah. Yang penalarannya bagus, bahkan tanpa rumus pun sebenarnya bisa memahaminya.

A.      Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus keduanya.
Contoh : -Jakarta adalah ibu kota Indonesia
               -3+4=7
               -ikan hiu termasuk mamalia
1 . kalimat terbuka
            Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaranya.
Contoh : 2x+3=9
               5+n adalah bilangan prima
2.      Inkaran dari pernytaan
Inkaran adalh suatu negasi dari suaru pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula.
Contoh : p = ayah pergi ke kantor
                    ~p = ayah tidak pergi ke kantor

B.      Pernyataan berkuantor
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas.
Ada 2 macam kuntor :
(1). Kuantor universal
      Dalam penyataan berkuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap.
Contoh :  x  R. ≥ 0 dibaca : untuk setiap x  R, berlaku  ≥ 0
                Semua ikan bernafas dengan insang.
(2). Kuantor ekstistensial
      Dalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat unkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian.
Contoh : beberapaikan bernafas dengan paru-paru.
INGKARAN DARI PERNYATAAN BERKUANTOR
ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial dan sebaliknya, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal.
Contoh :     p= semua ikan bernafas dengan insang
                  ~p= ada ikan yang tidak bernafas dengan insang
                  P= beberapa siswa SMA malas belajar
                  ~p= semua siswa SMA tidak malas belajar.

C.      Pernyataan majemuk

Pernyataan majemuk adalh gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang di sebut komponene dari pernyataan majemuk.
Ada 4 pernyataan majemuk :
a.      Konjungsi ("dan")
Notasinya : p^q ( di baca p dan q)
Table kebenaran konjungsi
p
q
P^q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S

b.      Disjungsi ("atau")
Notasinya : p v q
Table kebenaran disjungsi

p
q
pvq
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S

c.       Implikasi ("jika….maka….")
Notasinya : p q (di baca jika p maka q)
Table kebenaran implikasi

p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
d.      Bi-implikasi ("….jika dan hanya jika ….")
Notasinya : pq (di baca p jika dan hanya jika q)
Table kebenaran bi-implikasi




p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
           
Contoh : tentukan nilai kebenaran dari
(a)   dan
(b)   Tugu monas terletak di Jakarta atau tugu pahlawan di Jakarta
(c)    Jika 3+4=6 maka ayam menyusui
(d)   Matahari terbit dari utara jika dan hanya jika ayam jantan dapat bertelur
Jawaban :
(a)   P :                         bernilai salah
Q :                                     bernilai benar
P^q : dan   bernilai salah
(b)   P : Tugu monas terletak di Jakarta           bernilai benar
Q : tugu pahlawan di Jakarta                    bernilai salah
P v q : Tugu monas terletak di Jakarta atau tugu pahlawan di Jakarta                                 bernilai benar
(c)    P : 3+4=6                                                               bernilai salah
Q : ayam menyusui                                               bernilai salah

pq : Jika 3+4=6 maka ayam menyusui              bernilai benar
(d)   P : Matahari terbit dari utara                               bernilai salah
Q : jika ayam jantan dapat bertelur                     bernilai salah
pq :  Matahari terbit dari utara jika dan hanya jika ayam jantan dapat bertelur                                                           bernilai benar
D.     Konvers, invers, dan kontraposisi
Dari implikasi pq dapat di bentuk implikasi baru :
qp di sebut konvers dari implikasi semula
~p→~q di sebut invers dari implikasi semula
~p→~q di sebut kontraposisi dari implikasi semula
Contoh : p = Anisa penyanyi
               Q = Anisa seniman
Implikasi pq                   : jika Anisa penyanyi maka Anisa seniman
Konvers qp                     : jika anisa aeniman maka ia penyanyi
Invers ~p→~q                    : jika anisa bukan penyanyi maka ia bukan seniman
Kontrposisi  ~p→~q           : jika anisa bukan seniman maka ia bukan penyanyi

E.      Negasi dari pernyataan majemuk

 ~p v q ~p ^ ~q
 ~p ^ q ~p v ~q
 ~p q p ^ ~q
 ~pq (p^~q) v (q^~p)
Contoh :
a.      Negasi dari 5+2=8 dan adik naik kelas adalah 5+2=8 atau adik tidak naik kelas
b.      Negasi dari 9 adalah bilangan ganjil atau batu termasuk benda padat adalah 9 adalah bilangan genap dan batu tidak termasuk benda padat
c.       Negasi dari jika adik belajar maka ia pandai adalah adik belajar dan ia tidak pandai
d.      Negasi dari 4+5√3>10 jika dan hanya jika √3>2 adlah 4+5√3>10 dan √3>2 atau √3>2 dan 4+5√3<10

F.       Penarikan kesimpulan

Suatu argument terdiri dari 2 kelompok pernyataan, yaitu kelompok yang terdiri dari beberapa pernyataan awal dan disebut prwemis serta kelompok yang terdiri dari satu pernyataa dan disebut konklusi.
Ada 3 dasar penarikan kesimpiulan yaitu :
1.      Modus ponens
P1 = pq
P2 = p


 
K = q
2.      Modus tollens
P1 = pq
P2 = ~q


 
K = ~p


3.      Silogisme
P1 = pq
P2 = qr


 
K = pr

Contoh : dari premis-premis berikut tentukan konklusinya sehingga argumenya sah.
a.      P1 = jika ibu sakit maka ibu nminum obat
P2 = ibu sakit
b.      P1 = jika mesinya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak
P2 = mobil itu dpata bergerak
c.       P1 = jika BBM naik maka ongkos bis juga naik
P2 = jika ongkos bis naik maka uang saku naik
                        Jawaban :
a.      P1 = pq
P2 = p
                                                                
K = q
b.      P1 = p→q
P2 = ~q
                                                                
K = ~p
c.       P1 = pq
P2 = qr


 
K = pr

G.     Pembuktian dalam matematika

1.      Bukti langsung
Dengan membuktikan kebenaran suatu sifat atau dalil yang baru dengan memprlihatkan bahwa dalil atau sifat baru itu akibat pernyataan lain yang telah di terima kebenaranya.
2.      Bukti tidak lansung
Untuk membuktikan kebenaran suatu sifat atau dalil dengan mengandaikan
bahwabahwbahwa yang harus dibuktikan
bahwa yang harus di buktikan adalah salah sedemikian sehingga diperoleh suatu kontradiksi. Karena kontradiksi tak boleh terjadi, maka pengandaian salah. Jadi yang harus dibuktikanh yang benar.


SOAL DAN JAWABAN
1.      Jika adi rajin latihan maka nilainya bagus
Tentukan inversnya….
Jawaban :
Jika adi tidak rajin latihan maka nilainya tidak bagus
2.      Buatlah table kebenaran dari ~p(p^q)
Jawaban :
P
Q
~p
~q
~Pq
~P(p^q)
B
B
S
S
B
B
B
S
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
3.      Tentukan ingkaran pernyataan berikut : siswa semua sudah berbaris
Jawaban :
Ada siswa belum berbaris
4.      Tentukan negasi dari :
Rana gadis cantik dan pintar
Jawaban :
Rana gadis tidak cantik dan tidak pintar
5.      Beri contoh kalimat tertutup
Jawaban :
Matahari terbit dari timur.

Opini :
Mempelajari logika matematika membingungkan, tetapi bisa mengetahui cara-cara penyelesaian matematika. Sekian dan Terimakasih.


0 Response to "LOGIKA MATEMATIKA"

Posting Komentar