UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG

Dimensi Tiga





  A.    UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG



1.      Titik

Sesuatu yang abstrak yang hanya dapat dibayangkan keberadaannya. Titik tidak berbentuk dan tidak mempunyai ukuran. Notasi sebuah titik dengan menggunakan huruf besar, misalnya : A, B, C dan sebagainya. Titik tidak mempunyai dimensi.



2.      Garis

Himpunan titik-titik yang mempunyai panjang, tetapi tidak mempunyai luas atau volume. Yang dimaksud garis yaitu garis lurus. Notasi sebuah garis dengan huruf kecil. Misalnya : g, k, l dan sebagainya. Garis berdimensi satu.




3.      Bidang

Himpunan titik-titik yang mempunyai panjang dan luas, tetapi tidak mempunyai volume. Yang dimaksud bidang adalah bidang datar. Notasi bidang biasanya dengan huruf Yunani. Bidang berdimensi dua.



4.      Bangun Ruang

Himpunan titik-titik yang mempunyai panjang, luas dan volume. Notasi bangun ruang dengan menggunakan huruf besar dan titik. Misalnya : T.ABCD, ABCD.EFGH dan sebagainya.



B. BANGUN-BANGUN RUANG

      1.  KUBUS DAN BALOK



      Pada kubus dan balok terdapat :

- Bidang Frontal                : bidang yang sejajar dengan bidang proyeksi (bidang gambar)

- Bidang Orthogonal         : bidang yang tegak lurus terhadap bidang frontal

- Sudut Surut                    : sudut yang dibentuk oleh garis orthogonal dan horizontal

- Perbandingan Proyeksi   : perbandingan antara panjang garis orthogonal hasil proyeksi dengan panjang garis orthogonal sebenarnya.



     2. PRISMA



        Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang datar yang sejajar dan oleh lebih dari dua buah bidang datar yang berpotongan menurut garis-garis yang sejajar.

      Suatu prisma disebut prisma tegak jika rusuk tegaknya berdiri tegak lurus pada bidang alas/ bidang atas. Jika tidak tegak lurus maka disebut prisma miring/condong.

      Nama sebuah prisma tergantung pada bentuk alasnya. Jadi ada prisma segi tiga, prisma segi empat dan seterusnya.

      Prisma beraturan yaitu prisma tegak yang bidang alasnya berbentuk segi n beraturan.



3.  LIMAS

      Limas adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh segi-n dan beberapa segitiga yang melalui sebuah titik di luar segi-n tersebut. Titik ini disebut titik puncak , bidang-bidang segitiga yang merupakan bidang sisi tegak dan segi-nnya merupakan alas.

      Nama limas tergantung pada bentuk bidang alasnya.

      Limas beraturan yaitu jika bidang alasnya berbentuk segi-n beraturan dan proyeksi titik puncak pada alas akan berimpit dengan pusat bidang alas.





C.  BIDANG IRISAN ANTARA SUATU BIDANG DAN SUATU BANGUN RUANG



Aksioma-aksioma :

  1. Melalui dua titik dapat dilukis sebuah garis
  2. Melalui tiga titik yang tidak segaris dapat dilukis sebuah bidang

Akibat dari aksioma 1 dan 2, sebuah bidang dapat dilukis dari :

a.    sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu

b.    dua buah garis yang berpotongan

c.       dua buah garis yang sejajar

A. KEDUDUKAN GARIS, TITIK DAN BIDANG DALAM RUANG

1. Pengertian Titik, Garis dan Bidang

a.   Titik
Suatu titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai besaran. Sebuah titik dilukiskan dengan noktah dan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital.
Contoh :   1.
A,  B
                2. 
Lihat Kubus ABCD.EFGH di samping
Titik-titik pada kubus ABCD.EFGH tersebut adalah:
                   A, B, C, D, E, F, G, dan H

b.   Garis
Garis adalah himpunan dari titik-titik yang mempunyai panjang tak terhingga tetapi tidak memiliki lebar atau tebal.
Contoh :  1. 
Lihat Kubus ABCD. EFGH di samping
                     Garis-garis pada kubus ABCD.EFGH antara lain
                 AB,CG,BG (diagonal sisi),AG (diagonal ruang).







2

c.   Bidang
Bidang adalah himpunan titik-titik yang memiliki luas tak terhingga.
Wakil Bidang adalah bagian dari bidang yang memiliki ukuran panjang dan lebar
         Contoh : 1. Contoh bidang pada kubus ABCD.EFGH
                - Bidang ABCD
                - Bidang DCGH
                - Bidang BDG
2. Aksioma tentang Garis dan Bidang

Aksioma 1
    Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya
    dapat dibuat sebuah garis lurus.
                           A                     B








3
Aksioma 2
 
Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua buah titik
   persekutuan, maka garis seluruhnya terletak pada bidang.


A            B 
 



A       B
      ●C

Aksioma 3
 
Melalui sebuah titik segaris hanya dapat dibuat sebuah
   bidang.





            
                                                
Aksioma 4
 
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu,
   dapat dibuat sebuag garis yang sejajar dengan garis tertentu
   tertentu.
                                           
                                           

           
                                                                        

3. Kedudukan Titik terhadap Garis
a. Titik terletak pada Garis
  
                 A              B
                                           g
b. Titik diluar garis
                             A
                                                              G



4
4. Kedudukan Titik terhadap Bidang
a. 
                      A
Titik terletak pada bidang





b. Titik terletak diluar bidang

                      
                                             A   


5. Kedudukan Garis terhadap Garis
a.  Dua Garis Berpotongan
                                       g
P
                      h
   Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis terletak pada sebuah bidang memiliki sebuah titik persekutuan atau titik potong.






   b.  Dua Garis sejajar
      Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki persekutuan.
     g           
                   h
         
     







5
c.  Dua garis Bersilangan
Dua buah garis dikatankan bersilangan, jika kedua garis tidak terletak pada sebuah bidang yang sama.
                                   
                   
         
 
          g                 
                  
         
                       
                                                                     h





                                                                                                                                   

6. Kedudukan Garis terhadap Bidang
a.
  Dua bidang sejajar
Bidang Z
   Bidang Z dan Q dikatakan sejajar, jika kedua bidang tidak memiliki titik pertemuan.

Bidang Q




b.  Dua Bidang Berimpit
    Bidang Z dan Q dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang V terletak di bidang W/ sebalikanya.
Bidang Z&Q
 













6
c.  Dua bidang berpotongan
 D                               
                   
         
Bidang D dan K dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu memiliki tepat satu garis persekutuan yang disebut garis potong.

          K                 
                  
         
 







B.     MENGGAMBAR BANGUN RUANG
1. Bidang Gambar

Bidang /suatu tempat permukaan untuk menggambar bangun ruang. Dinotasikan dengan . BIdang gambar selalu menghadap ke pengamat.
          

                                  
2. Bidang Frontal
Bidang yang sejajar dengan bidang dengan bidang gambar.
Bidang frontal ukurannya sama dengan ukuran sebenarnya. Pada gambar dibawah ini bidang frontalnya, ABFE dan DCGH.
         H                        G
       E          

                                  c

     A                         B
                       F


       D
 






                                                                                                                                    


7
3. Garis Frontal
Garis yang terletak pada bidang frontal. Garis frontal dibagi menjadi 2, garis frontal vertical dan garis frontal horizontal. Gambar diatas Garis frontalnya, AB,AE,EF,FB,DC,CG,GH,HD.
4. Bidang Ortogonal
Bidang yang tegak lurus pada bidang forntal kea rah belakan / depan secara horizontal dan vertical.
5. Garis Ortogonal
Garis yang tegak lurus pada bidang frontal.
6. Perbandingan Ortogonal
Perbandingan orthogonal atau proyeksi adalah perbandingan antara panjang suatu garis orthogonal pada gambar dengan panjang garis sebenarnya.
Perbandingan Ortogonal =      Panjang garis orthogonal gambar
                                       Panjang garis orthogonal sebenarnya
7. Sudut Surut
Sudut dalam gambar yang terbentuk antara garis frontal horizontal arah ke kanan dan garis orthogonal arak ke belakang.

C.    JARAK PADA BANGUN RUANG
1. Jarak antara Titik dengan Titik
Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang mengubungkan dua titik.
A             d                B


2. Jarak antara Titik dengan Garis
Jarak antara titik dengan garis .Panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap garis.
                               P
                                       d
                                           Q               g


                                          8
3. Jarak antara Titik dengan Bidang
Jarak antara titik dengan bidang.Panjang ruas garis yang tegak lurus dan menghubungkan titik tersebut dengan bidang.
                            A
                                       g
     B
                      h
 
                                              


                                                                                                                                                                                  
4. Jarak antara Garis dengan Garis
Jarak antara dua garis sejajar /bersilangan.Panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.
                    P                    g
 



                                                                                          Q                                               h
5.   Jarak antara Garis dengan Bidang
Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar. Panjang garis yang tegak lurus dengan garis bidang tersebut.
                                     g
                                       g
     B
                      h
                               A













9
6.
                   A      

Jarak antara Bidang dengan Bidang
Jarak antara fua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak luruis terhadap dua bidang tersebut.


                                       g
     B
                      h
 







                                                                                                                                                        
D.      Besar Sudut Pada Bangun Ruang
1. Sudut Antara Garis dengan Garis
   a.  Sudut antara Dua Garis Berpotongan
         Jika garis g dan garis h berpotongan, maka sudut antara garis g dan h adalah sudut lancip,
                                                                                                g

                                                                                                                      h
                                                                      P

b.  Sudut antara Dua Garis Bersilangan
        
g         g'
           
                                                                   h'
                              A
                                                                      h    





10
2. Sudut antara Garis dan Bidang
                                     
l
        
 




          
3. Sudut antara Bidang dan Bidang
   
   

 



E.       Proyeksi pada Bangun Ruang
1.  Proyeksi titik pada garis
Dari titik P ditarik garis m^ garis k garis m memotong k di Q,titik Q  adalah hasil proyeksi 
      titik P pada k.
         







11
Contoh Soal :
1.  Diketahui kubus ABCD.EFGHTentukan proyeksi titik A    pada  garis
   a. BC     b.BD                    
   c. ET
   (T perpotongan AC dan BD).
Pembahasan :
Proyeksi titik A pada
a. BC adalah titik B (AB ^ BC)
b. BD adalah titik T (AC ^ BD)
c. ET adalah titik A' (AC ^ ET)

2. Proyeksi Titik pada Bidang
    Dari titik Pada luar bidang Hditarik garis g ^ H. Garis g menembus bidang H di titik P'.Titik P' adalah proyeksi titik P di bidang H.
                        





12
Contoh Soal :
Diketahui kubus ABCD.EFGH
a. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah….
b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah….
Pembahasan :
a. Proyeksi titik E pada bidang ABC D adalah (EA ^ABCD)
b. Proyeksi titik Cpada bidang BDG adalah CE ^ BDG
3. Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh
dengan memproyek-sikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang.
Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g'






13
Contoh Soal :
1.    Diketahui kubus  ABCD.EFGH
a.   Proyeksi garis pada bidang ABCD adalah….
b.   Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah….
Pembahasan :
a.   Proyeksi garis EF pada bidang ABCD berarti menentukan  proyeksi titik E dan F pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B.
Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB
b.   Proyeksi garis CG pada bidang BDG berarti menentukan   proyeksi titik C dan titik G pada bidang BDG, yaitu titik P dan G.
Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?



14
Panjang proyeksi CG pada BDG adalah  panjang garis PG.
PG   = .GR
      = .½a√6
      = a√6 = .6√6
Jadi panjang proyeksi garis CGpada bidang BDG adalah 2√6 cm


















15
BAB III
LATIHAN SOAL
UN2004
1.    Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. 
    Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah

     A. 2 2  cm     C. 4 2  cm   E. . 8 2  cm   
     B. 2 6  cm     D. 4 6 cm

EBTANAS1999
2.   Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. 
    Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah….

 A. 6    cm     C. 3   cm   E. . 3   cm   
 B. 6   cm     D. 3  cm

UAN2003
3.   Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis CF
adalah…
    A.  20  cm     C.  14  cm   E. .  8  cm   
    B.  18  cm     D.  12  cm


16
EBTANAS1992
4.   Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm.
Jarak titik C dengan bidang BDG adalah…

 A. 2   cm     C. 3 cm   E. . 4   cm   
 B. 2   cm     D. 3  cm

UAN2005
5.   Pada kubus ABCD.EFGH besar sudut antara garis AH
dan bidang diagonal BDHF adalah…

A. 30 °     B. 45 °     C. 60 °     D. 75 °     E. 90 ° 

1 Response to "UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG"

  1. Artikel nomor urut tiga. Sudah bagus dari segi ketepatan waktu. Isi artikel masih perlu diperbaiki. Jika mengambil materi dari internet sertakan juga link sumbernya, dan usahakan diedit terlebih dahulu agar bisa terbaca dengan baik.

    ReplyDelete