contoh soal dan pembahasan

Materi Logika Matematika SMA

LOGIKA MATEMATIKA
Materi Logika matematika

I.    PENDAHULUAN


           Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.

II.  PERNYATAAN
           Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.
Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.    

III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK       
           Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.
           Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.
           Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-
operasi logika matematika.

Contoh:
1.  Jakarta adalah ibukota negara RI
2.  Merah putih adalah bendera negara RI
3.  2 adalah bilangan prima yang genap
4.  Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap

Soal:
Buatlah contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai kebenarannya!  

IV. OPERASI LOGIKA 

           Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah
1.  Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol  " ~ "
2.  Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol " Ù "
3.  Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol " Ú "
4.  Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol " Þ "
5.  Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol " Û "

Contoh pernyataan majemuk:
1.  Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih
2.  Ani dan Ana anak kembar
3.  Cuaca hari ini mendung atau cerah
4.  Jika x = 0 maka
5.  Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama




V. TABEL KEBENARAN

1.  Operasi Negasi
           Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan " ~ "
Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.
Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang
              berlawanan

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:


 
      p             ~ p
 

     B               S 

     S               B


Contoh:
p    :  Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
~ p :  Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

2.  Operasi Konjungsi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan " Ù "

Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai
              benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah




Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
          
      p             q           p Ù q
 

     B             B              B
     B             S              S
     S             B              S
     S             S              S       



3. Operasi Disjungsi
           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan " Ú  "

Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu 
              komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar
              jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

Disjungsi Inklusif:                                            Disjungsi Eksklusif:








 
     p             q           p Ú q                                     p             q            p  q








 
     B             B              B                                      B            B                 S
     B             S              B                                      B            S                 B
     S             B              B                                      S            B                 B   
     S             S              S                                      S            S                 S         



4.  Operasi Implikasi
           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan " Þ  "
Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan
              konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

 

      p              q             p  Þ  q
 

      B              B                B
      B              S                S
      S              B                B
      S              S                B      



5.  Operasi Bi-implikasi
           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan " Û "

Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya
              mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya
              mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

 

      p              q           p  Û  q
 

      B              B              B
      B              S              S
      S              B              S
      S              S              B      


VI. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN
      Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam:
      1. Kontradiksi
      2. Tautologi
3.  Kontingensi

Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.

Contoh:
Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi!
( ~p Ù q ) v ( q à p )
 

    p     q      ~ p    ~ p Ù q      q à p   ( ~p Ù q ) v ( q à p )
 

   B      B      S          S             B                      B
   B      S      S          S             B                      B
   S      B      B          B             S                      B
   S      S      B          S             B                      B  


Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu tautologi

Soal:
Selidiki apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi!

1.  ( p Ù q ) à p
2.  ( p à q ) à [ ( ~ q Ù r ) à ( r Ù p ) ]
3.  ( p v q ) à ( ~ p à q )

VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS
           Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut implikasi logis.

Contoh:
   
     p        q         p à q       ( p à q ) Ù p     [ ( p à q ) Ù p ] à p
 

    B         B           B                     B                            B
    B         S           S                     S                            B
    S         B           B                     S                            B
    S         S           B                     S                            B      

           Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekwivalen logis dengan notasi  " º "  atau " »  "

Contoh:
 
   p      q        p Û  q    p à q    q à p   ( p à q ) Ù ( q à p )  

   B      B           B            B          B                      B
   B      S           S            S          B                      S
   S      B           S            B          S                      S
   S      S           B            B          B                      B       


Karena   p Û  q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p à q ) Ù ( q à p ), maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis.
Jadi, p Û  q  »  ( p à q ) Ù ( q à p )

Soal:
Selidiki apakah pernyataan di bawah ini apakah implikasi logis atau ekwivalen logis!
1.  [( p à q ) v r ] à [( p Ù ~ q ) v r]
2.  [ ~ ( p Ù q )]  º  ( p à q )

VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
·      Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi q à p disebut konvers
·      Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ p à ~ q disebut invers
·      Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ q à ~ p disebut kontraposisi


Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:

                     konvers    
   p à q                             q à p












 


invers         kontraposisi           invers

  ~p à ~q                           ~q à ~p
                      konvers


Contoh:
Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
" Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah "

Konvers       : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar
Invers          : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah
Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar

Soal:
Buatlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
1.  Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu membentuk sudut siku-siku
2.  Jika  x = 3 maka  =  9

IX. PENGERTIAN KUANTOR
           Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.
Kuantor dibedakan atas:
1.  Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : ""
2.  Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : " "

Contoh:
Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5
Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( S )
atau x, x + 3 > 5 ( B )

Jika x Î bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini!
1.  (x) (y ) ( x + 2y = 7 )
2.  (x) (y) (x + 2y = x)
3.  (x) (y) ( x > y )
4.  (x) (y) ( x.y = 1 )

X. PERNYATAAN BERKUANTOR
    Contoh pernyataan berkuantor: 
1.  Semua manusia fana
2.  Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa
3.  Ada bunga mawar yang berwarna merah
4.  Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter
Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan  "Semua manusia fana" maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x) à F(x)

Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!
1.  Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) )
2.  Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) )
3.  Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )
4.  Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )

XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
           Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut.
Contoh:
Negasi dari pernyataan: " Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas " adalah
" Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas "

Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi:
 x, M(x) à , negasinya  x, M(x) Ù T(x)

Soal:
Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal sebelumnya!



XII. ARGUMEN
           Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen. 
 Contoh:
1.  p à q
2.  p / \ q

1.  ( p à q ) Ù ( r à s )
2.  ~ q v ~ s / \~ p v ~ r

1.  p
2.  q / \p Ù q

XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN
           Bukti keabsahan argumen dapat melalui:
           1. Tabel Kebenaran
2.  Aturan Penyimpulan
       Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.
Contoh:
Buktikan keabsahan argumen
1.  1. p à q
2.  ~ q / \~p

2.  1. a à b
    2. c à d
3.  ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a v ~c




Bukti:
Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran
 

   p    q   ~p   ~q   p à q   [( p à q) Ù ~q]   [(p à q) Ù ~q] à ~p
 
  B    B    S    S       B                  S                          B
  B    S    S    B       S                  S                          B
  S    B    B    S       B                  S                          B
  S    S    B    B       B                  B                          B  


Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah

Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan

    1. a à b
    2. c à d
3.  ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a v ~c
4.  ( a à b ) Ù ( c à d )   1,2 Conj
5.  ( ~b v ~d )                   3, Simpl
6.  ~ a v ~c                      4,5 DD

Soal:
Buktikan keabsahan argumen:
1.  e à ( f Ù ~g)
2.  ( f v g ) à h
3.  e / \h


XIV. ATURAN PENYIMPULAN

1.  Modus Ponens (MP)
     p à q
     p  / \ q

2.  Modus Tolens (MT)
    p à q
    ~q / \~p

3.  Hypothetical Syllogisme (HS)
    p à q
    q à r / \p à r

4.  Disjunctive Syllogisme (DS)
       p v q
    ~ p / \ q

5.  Constructive Dillema (CD)
     ( p à q ) Ù ( r à s )
       p v r / \q v s

6.  Destructive Dillema (DD)
    ( p à q ) Ù ( r à s )
     ~ q v ~ s /  \~p v ~r

7. Conjunction (Conj)
    p
    q / \p Ù q

8.  Simplification (Simpl)
     p Ù q
     \p

9.  Addition ( Add)
    p
    \p v q


XV. ATURAN PENGGANTIAN
1.  De Morgan
a.  ~ ( p Ù q ) º ~ p V ~ q
b.  ~ ( p V q ) º ~ p Ù ~ q
2.  Komutatif
a.  ( p Ù q ) º ( q Ù p )
b.  ( p V q ) º ( q V p )
3.  Asosiatif
a.  ( p V q ) V r º p V ( q V r )
b.  ( p Ù q ) Ù r º p Ù ( q  Ù r )
4.  Distributif
a.  ( p V q ) Ùº ( p Ù r ) V ( q Ù r )
b.  ( p Ù q ) V r º ( p V r ) Ù ( q V r )
5.  Dobel Negasi
    ~ ( ~ p ) º p

6.  Implikasi
    p à q º ~ p V q
7.  Material Equivalen
a.  p Ûº ( p à q ) Ù ( q à p )
b.  p Ûº ( p Ù q ) V ( ~ p Ù ~ q )
8.  Eksportasi
     p à ( q à r ) º ( p Ù q ) à r
9.  Transposisi
     p à q º ~ q à ~ p
10. Tautologi
a.  ( p v p ) º p
b.  ( p Ù p ) º p
Contoh:
Selidiki keabsahan argumen di bawah ini!
1.  a à ( bà c )
2.  c à ( d Ù e ) / \a à ( b à d )
3.  ( a Ù b ) à c                                       1, Eksportasi
4.  ( a Ù b ) à ( d Ù e )                             3,4, Hypothetical Syllogisme
5.  ~ ( a Ù b ) V ( d Ù e )                           4, Implikasi
6.  ( ~ a V ~ b ) V ( d Ù e )                           5, De Morgan
7.  [(~ a V ~ b ) V d ] Ù [(~ a V ~ b ) V e ]  6, Distribusi
8.  (~ a V ~ b ) V d                                       7, Simplifikasi
9.  ~ a V ( ~ b V d )                                      8, Asosiasi
10. a à ( b à d )                                             9, Implikasi

Soal:
Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!
1.  ( k V l ) à ~ ( m Ù n )
2.  ( ~ m V ~ n ) à ( o Û p )
3.  ( o Û p ) à ( q Ù r ) / \( l V k ) à ( r Ù q )


SOAL dan Pembahasan

  1. Alex selalu berbohong pada hari-hari Kamis, Jumat, dan Sabtu. Pada hari hari lain Alex selalu jujur. Di lain pihak Frans selalu berbohong pada hari-hari Minggu, Senin, dan Selasa, dan selalu jujur pada hari-hari lain. Pada suatu hari, keduanya berkata:"Kemarin Saya berbohong". Hari mereka mengucapkan perkataan tersebut adalah hari …
    PEMBAHASAN :
                 Alex    Frans
    Senin     : Jujur    Bohong
    Selasa    : Jujur    Bohong
    Rabu      : Jujur    Jujur
    Kamis     : Bohong    Jujur
    Jumat     : Bohong    Jujur
    Sabtu     : Bohong    Jujur
    Minggu    : jujur    Bohong
    Jadi mereka mengucapkan perkataan tersebut pada hari Rabu.
  2. Suatu bilangan terdiri dari 2 angka . Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah kedua angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2, bilangan tersebut adalah …
    PEMBAHASAN :
    misal bilangan tersbut adalah mn
    mn = 4(m + n)
    n – m = 2 \Rightarrow n = 2 + m, maka
    m(2 + m) = 4(m + (2 + m))
    2m + m2 = 4m + 8 + 4m
    m2 – 6m – 8 = 0
    (m – 4)(m – 2) = 0
    m = 4 atau m = 2
    substitusi nilai m tersebut ke persamaan "n = 2 + m", sehingga diperoleh :
    untuk m = 4 maka n = 6
    untuk m = 2 maka n = 4
    kemungkinan bilangan tersebut adalah 46 atau 24, tapi yang memenuhi adalah 24. Jadi bilangan tersebut adalah 24
  3. Carilah n sehingga n dan \frac{n+3}{n-1} keduanya merupakan bilangan bulat adalah …
    PEMBAHASAN :
    \frac{n+3}{n-1} = \frac{(n-1)+4}{n-1}
    = 1+\frac{4}{n-1}
    Jadi, n yang memenuhi agar n dan \frac{n+3}{n-1} bilangan bulat adalah 2, 3 dan 5.
  4. Misalnya N = \frac{1}{10} + \frac{2}{10^2} + … + \frac{10}{10^{10}} + \frac{11}{10^{11}}. Bentuk desimal nilai N adalah …
    PEMBAHASAN :
    \frac{1}{10} = 0.1
    \frac{2}{10^2} = 0.02
    .
    .
    .
    \frac{11}{10^{11}} = 0.00000000011
    Jadi,
    0.1
    0.02
    0.003
    0.0004
    0.00005
    0.000006
    0.0000007
    0.00000008
    0.000000009
    0.000000001
    0.00000000011 +
    0.12345679011
  5. Berapa banyaknya digit dari 125^{7} x 32^5 x 450^2 ?
    PEMBAHASAN :
    125^{7} x 32^5 x 450^2 = 5^{3(7)}.2^{5(5)}.3^2.2.5^2
    = 5^{21}.2^{25}.(3^2.2.5^2)2
    = 5^{21}.2^{25}.3^4.2^2.5^4
    = 5^{25}.2^{25}.3^4.2^2
    = (2.5)^{25}.3^4.2^2
    = (10)^{25}.81.4
    = 324.10^{25}
    Jadi banyak digit bilangannya adalah 28 digit
  6. 213 jika dibagi dengan 13 akan memberikan sisa sama dengan …
    PEMBAHASAN :
    213 = 24.24.24.2
    = (13 + 3)(13 + 3) (13 + 3)2
    = (13.13 + 2.3.13 + 3.3)(13 + 3)2
    = (13.13.13 + 2.3.13.13 + 3.3.13 + 13.13.3 + 2.3.13.3 + 3.3.3)2
    = 13.13.13.2 + 2.3.13.13.2 + 3.3.13.2 + 13.13.3.2 + 2.3.13.3.2 + 3.3.3.2
    Angka yang saya beri warna merah adalah angka yang habis dibagi 13, jadi sisa angkanya yaitu 3.3.3.2 = 54.Dimana 54 = 13.4 + 2, jadi sisanya adalah 2.
  7. Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh tiga ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah … hari.
    PEMBAHASAN :
    7 ekor – 7 kali lapangan bola – 7 hari
    6 ekor – 6 kali lapangan bola – 7 hari
    5 ekor – 5 kali lapangan bola – 7 hari
    4 ekor – 4 kali lapangan bola – 7 hari
    3 ekor – 3 kali lapangan bola – 7 hari
    Logikanya adalah, dengan jumlah kambing yang sama dengan jumlah kali lapangan sepak bola akan membutuhkan waktu 7 hari untuk menghabiskan rumputnya.
  8. Rata-rata sembilan bilangan adalah 6. Satu di antara ke sembilan bilangan dibuang. Rata-rata delapan bilangan yang tinggal adalah 6\frac{1}{2}. Bilangan yang dibuang adalah …
    PEMBAHASAN :
    misal bilangannya adalah x1, x2, …, x9 dan bilangan yang dibuang adalah x9
    Rata-rata1 = \frac{x_1+x_2+...+x_9}{9}
    6 = \frac{x_1+x_2+...+x_9}{9}
    6.9 = x1 + x2 + … + x9
    54 = x1 + x2 + … + x9
    Rata-rata2 = \frac{ x_1+x_2+...+x_8}{8}
    6\frac{1}{2} = \frac{54-x_9}{8}
    13/2 = \frac{54-x_9}{8}
    104 = 2(54 – x9)
    104 = 108 – 2x9
    2x9 = 4
    x9 = 2


3 Responses to "Materi Logika Matematika SMA"

  1. Nang nag nomer siji wae njawab yo salah melas banget -_-....
    Kuwi soal osn kan...?
    Nomer siji kan kudune melu bab kombimatorik...??la kok isoh melbu logika..???
    JAWABANE DINO MINGGU
    CIMIIW #

    ReplyDelete
  2. - antara materi dan soal tidak sinkron
    - isi postingan mestinya diedit terlebih dahulu agar simbol-simbol matematika bisa tampil dengan baik.

    ReplyDelete
  3. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete