contoh soal dan pembahasan

Rumus Barisan Deret Aritmatika dan Geometri

Barisan Deret Aritmatika dan Geometri | Selamat datang kembali para pecinta matematika di mathclass.id. Pada postingan kali ini kita akan belajar tentang barisan dan deret aritmatika, barisan dan deret geometri serta deret geometri tak hingga.
Materi matematika barisan dan deret ini kita pelajari di bangku SMP dan diperdalam lagi di bangku SMA. Mari kita bahas bersama-sama.

1. Barisan dan Deret Aritmatika

a. Barisan Aritmatika


Barisan aritmatika adalah barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan satu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Penambahan bilangan tetap tersebut disebut beda atau selisih yang dilambangkan dengan huruf b.

b. Deret Aritmatika


Jika U1, U2 , U3 , U4 ,……, Un merupakan barisan aritmatika, maka U1+ U2 + U3 + U4 +……+ Un meruakan suatu deret aritmatika yang sering disimbolkan dengan Sn yaitu jumlah n suku pertama deret aritmatika.


2. Barisan dan Deret Geometri


a. Barisan Geometri


Barisan geometri adalah barisan bilangan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan satu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut pembanding atau rasio dengan lambang r.

Barisan U1, U2 , U3 , U4 , ….. , Un disebut sebagai barisan geometri jika memenuhi


Contoh barisan geometri : 2, 4, 8, 16, ....

b. Rumus Suku ke-n Barisan Geometri


Jika suku pertama ( U1 ) dari suatu barisan geometri disimbolkan dengan a , maka rumus suku ke-n barisan geometri dapat ditulis sebagai berikut:
rumus barisan geometri
Maka rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah


Sedangkan untuk rasio atau pembanding (r) ditentukan dengan rumus:



Contoh Soal Barisan Geometri :

  1. Tentukan suku ke tujuh dari barisan geometri 3, 6, 12, .....!
  2. Tentukan Rumus Suku ke-n dari barisan 48 , 24 , 12 , ……!
  3. Dari barisan geometri diketahui bahwa U3 = 4 dan U9 = 256, maka tentukan U12!
  4. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut sama dengan 35, sedangkan hasil kali ketiga bilangan itu sama dengan 1.000. Maka tentukan barisan geometri tersebut!
Penyelesaian :

1. Dari Barisan 3, 6, 12, ... didapat suku pertama a = 3 dan rasio r = 6/3 = 2 , maka:
Un  a.rn-1
U7  3.27-1
U7  = 3.26
U7  = 3.64
U7  = 192
2. Dari barisan 48, 24, 12, .... didapat suku pertama a = 48 dan rasio r = 24/48 = 1/2 , maka:
Un  a.rn-1
Un  48.(1/2)n-1
Un  48.((2-1)n-1
Un  = 3.16.21-n
U7  = 3.24.21-n
U7  = 3.25-n
3. Dari persamaan rumus U3 dan U9 dicari nilai rasio yaitu :

U= → a.r2 = 4

U256 → a.r8 = 256

substitusikan nilai r yang didapat untuk mencari U1 atau a.
→ a.r2      = 4

→ a.22      = 4

→ a           = 1
Berikutnya, tentukan nilai U12.
U12  a.rn-1
U12  1.211
U12  1.2048
U12  = 2048
4.


c. Deret Geometri


Jika U1 ,U2 , U3 , U4 , …… , U5 merupakan suatu barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + U4 + …… + U5 disebut sebagai Deret Geometri yang disimbolkan dengan Sn.
Jadi Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + …… + U5 yaitu jumlah n suku pertama dari deret geometri.

d. Rumus Suku ke-n Deret Geometri


Contoh Soal deret Geometri:

  1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret 32 + 16 + 8 + ….!
  2. Tentukan nilai n yang memenuhi2 + 22 + 23 + ….. + 2n = 510!
Penyelesaian:

1. Dari deret 32 + 16 + 8 + .... diketahui suku pertama a = 32 dan rasio r = 1/2, maka :















2. Dari deret 2 + 22 + 23 + ….. + 2n = 510 diketahui suku pertama a = 2 dan rasio r = 2, maka :

















3. Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga dalam ruang lingkup ini hanya dibatasi pada deret tak hingga yang konvergen. Sedangkan deret geometri tak hingga divergen akan kita bahas lain kali.
Rumus suku ke-n deret geometri adalah:

Maka untuk n mendekati terbentuk:

Untuk –1 < r < 1 maka:

Sehingga rumus geret geometri tak hingga:


Contoh Soal:

  1. Tentukan jumlah tak terhingga deret 64 + 32 + 16 + 8 + .... !
  2. Suku pertama dari deret konvergen adalah 2, sedangkan jumlah tak terhingganya adalah 4. Tentukan rasio deret tersebut!

Jawab:

1. Dari deret 64 + 32 + 16 + ….. diketahui suku pertama a = 64 dan rasio r = 1/2, maka :





2. Diketahui a = 2 dan S = 4, maka,










Demikianlah pembahasan tentang barisan dan deret aritmatika, barisan dan deret geometri serta deret geometri tak hingga. Jika ada pertanyaan dan materi yang kurang jelas silahkan manfaatkan kolom komentar di bawah ini untuk bertanya dan berdiskusi.
Terima kasih sudah membaca dan semoga ada manfaat yang bisa diambil. Salam hangat.

0 Response to "Rumus Barisan Deret Aritmatika dan Geometri"

Post a Comment