Materi Matematika : Bentuk Aljabar

Materi Matematika : Bentuk Aljabar | Selamat datang di mathclass adik-adik pecinta matematika. Kali ini kita akan belajar matematika bab bentuk aljabar.

Bentuk Aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti menghitung jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, menentukan banyaknya bahan bakar yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu,  atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 1 hari, dapat dihitung dengan menggunakan aljabar.


A. UNSUR - UNSUR DALAM BENTUK ALJABAR


1. Variabel, Koefisien, Konstanta, dan Faktor

  • Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel sering disebut juga peubah. Umumnya variabel dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z. 
  • Koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Atau dalam bahasa mudahnya adalah bilangan yang berada di depan variabel .
  • Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.
  • Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.
Untuk mengetahui lebih jauh apa itu variabel, koefisien, konstanta dan faktor, silahkan anda perhatikan bentuk aljabar berikut:
4x + 2y = 15
Pada bentuk aljabar di atas, huruf x dan y disebut variabel. Sedangkan bilangan 15 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta.  Adapun yang dimaksud koefisien adalah 4 dan 2 . Bilangan 15 di atas dapat diuraikan menjadi perkalian antara 3 x 5, sehingga 3 dan 5 bisa disebut faktor-faktor dari 15.
Bagaimana adik-adik? sudah bisa membedakan apa itu Variabel, Koefisien, Konstanta, dan Faktor ? Kalau masih belum jelas silahkan dibaca lagi contoh-contoh yang lainnya di bawah ini.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis


a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 7x dan 2x, 5a^2 dan a^2, 6y dan -3y, ...
Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 4x dan –4x^2, 5y dan x^3, 6x dan –8y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 6y, 2x^2, –5ab, dll.

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a^3 – 4a, 3x^2 – 4x, dll.

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: x^2 –4x + 1, 5x + 3y – xy, dll.

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.


B. OPERASI PADA BENTUK ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Dalam penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar ketentuannya adalah: suku-suku yang sejenis saja yang dapat kita jumlahkan atau kurangkan. Lihat contoh berikut:
a). Sifat-sifat penjumlahan bentuk aljabar

ax + bx = (a+b)x
ax + b + cx + d = (a+c)x + (b+d)
Contoh soal penjumlahan bentuk aljabar:
1. 8x + 3x = ?
2. -5x2 - 2x2  = ?
3. 4x2 - 4 + x2 - 8 = ?
Jawab :
1. 8x + 3x = (8+3)x = 11x
2. -7x2 - 2x2 = (-7-2)x2 = -9x2
3. 3x2 - 4 + 2x2 - 8 = (3+2)x2 + (-4-8) = 5x2 - 12 
b). Sifat-sifat pengurangan Bentuk Aljabar
ax - bx = (a-b)x
ax - b - cx - d = (a - c)x - (b+d)
Contoh soal pengurangan bentuk aljabar :
1. 8x – 3x = ?
2. 5x – 8 – 2x – 1 = ?
jawab :
1. 8x – 3x = (8-3)x = 5x
2. 6x – 6 – 5x – 2 = (6-5)x – (6+2) = x - 8 

2. Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar

a). Perkalian Bentuk Aljabar
  1. Perkalian Konstanta dengan Bentuk Aljabar
a(bx + cy) = abx + acy
Contoh soal perkalian bentuk aljabar :
1. 5(x + 3y) = 5x + 15y
2. 7(4x - y) = 28x - 7y
 2. Perkalian Bentuk Aljabar dengan Bentuk Aljabar
ax(bx + cy)  = abx2 + acxy
ay(bx + cy)  = abxy + acy2
(x + a) (x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a+b)x + ab
Contoh soal perkalian bentuk aljabar:
1. x(5x + 4y)  = 5x2 + 4xy
2. (2x + y) (3x - 2y) = 2x.3x - 4xy + 3xy - 2y2
                      = 6x2 - xy - 2y2 
b). Pembagian Bentuk Aljabar

Contoh soal pembagian bentuk aljabar:
1. (8x + 4) : 2 = ?
2. 12a2 : 3a    = ?
Jawab :






3. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Dalam perpangkatan bentuk aljabar kita nanti akan melibatkan juga aturan segitiga pascal.
Contoh :
1. (4x)2 = 4x . 4x = 16x2
2. (2xy)2 = 2xy . 2xy = 4x2y2
a. Pemangkatan Bentuk Aljabar dalam Bentuk x + y

Konsep perpangkatan bentuk (x +y) :
(x + y)2 = (x + y) (x + y)
         = (x + y)x + (x + y)y
         = x2 + xy + xy + y2
         = x2 + 2xy + y2
b. Konsep perpangkatan Aljabar dalam bentuk x - y
(x - y)2 = (x - y) (x - y)
         = (x - y)x - (x - y)y
         = x2 - xy - xy + y2
         = x2 - 2xy + y2
Pemangkatan bentuk-bentuk aljabar dapat kita lakukan dengan memanfaatkan kaidah Segitiga Pascal seperti yang tertulis di bawah ini.
(x + y)0 = 1                              à                       1
(x + y)1 = x + y                          à                 1         1
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2                                          à             1        2        1
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3                        à       1        3        3        1
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4      à  1        4        6        4        1

Dan seterusnya....
Perpangkatan bentuk aljabar (x-y)^n dengan n bilangan asli juga menggunakan kaidah Segitiga Pascal, akan tetapi tanda setiap koefisiennya berganti dari (+) untuk suku ganjil dan (-) untuk suku genap.
(x - y)0 = 1                              à                       1
(x - y)1 = x - y                          à                 1        -1
(x - y)2 = x2 - 2xy + y2                                          à             1       -2        1
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3                        à       1       -3        3       -1
(x - y)4 = x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4      à  1       -4        6       -4        1

Dan seterusnya....
4. Pemfaktoran Bentuk Aljabar

a. Pemfaktoran dalam bentuk distributif
ax ± ay = a(x ± y)  a bisa koefisien atau variabel
Contoh Soal pemfaktoran bentuk Aljabar:
2x + 10y = 2(x + 5y)  a sebagai koefisien
4x - 4y  = 4(x - y)   a sebagai variabel
b. Pemfaktoran dalam bentuk selisih kuadrat
x2 - y2 = (x + y) (x - y)
Contoh Soal :
x2 - 52 = (x + 5) (x - 5)
c. Pemfaktoran dalam bentuk kuadrat sempurna
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
x2 - 2xy + y2 = (x - y)2
Contoh Soal :
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
x2 - 10x + 25 = (x - 5)2
d. Pemfaktoran dalam bentuk ax2 + bx + c = 0, dimana a = 1
ax2 + bx + c = (x + m) (x + n)
dengan m + n = b | m x n = c
Contoh Soal :
x2 + 9x + 18 = (x + 3) (x + 6)
               karena 3 + 6 = 9 | 3 x 6 = 18
               m = 6 dan n = 3 atau m = 3 dan n = 6
e. Pemfaktoran dalam bentuk ax2 + bx + c = 0, dimana a ≠ 1
a x c = m x n dan m + n = b
Contoh Soal :
2x2 + 3x + 1 = 0
               2 x 1 = m x n dengan syarat m + n = 3
               yang memenuhi adalah m = 2 dan n = 1
maka :2x2 + 3x + 1 = 0 menjadi 2x2 + 2x + x + 1 = 0
 2x(x + 1) + 1(x + 1) = 0
 (2x + 1) (x + 1)
Demikianlah materi matematika  tentang bab bentuk aljabar beserta contoh soal dan pembahasannya. Silahkan anda pelajari dengan seksama karena materi aljabar adalah pondasi yang hampir selalu dipakai di dalam perhitungan-perhitungan matematika ataupun di bidang lainnya seperti ilmu alam dan teknik.
Jika ada pertanyaan seputar bentuk aljabar jangan ragu untuk bertanya dan menuliskannya di kolom komentar. terima kasih sudah berkunjung, semoga ada manfaat yang bisa diambil. Terima kasih.



0 Response to "Materi Matematika : Bentuk Aljabar"

Posting Komentar