Kumpulan Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri

Kumpulan Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri | Selamat datang para pecinta matematika  di contoh-soal.com. Kali ini akan saya bagikan contoh soal identitas trigonometri beserta pembahasannya.

Soal Identitas Trigonometri dan Pembahasannya


  1. Sederhanakan bentuk trigonometri  (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β).

    Pembahasan
    Dari pecahan (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.
    1 + cot2 β = cosec2 β
    ⇒ 1 + cot2 β = 1/sin2 β

    cot β . sec2 β = (cos β/ sinβ) . sec2 β
    ⇒ cot β . sec2 β = (cos β/ sin β).(1/cos2 β)
    ⇒ cot β . sec2 β = cos β / sin β.cos2 β

    Setelah digabung kembali diperoleh : 
    (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) / (cos β / sinβ.cos2 β)
    ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) . (sin β.cos2 β / cos β)
    ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = sin β.cos2 β / sin2 β.cos β
    ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cos β / sin β
    ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β  
    Jadi, (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β.
  2. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α.

    Pembahasan
    Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.
    (sin α - cos α)2 = sin2 α - 2 sin α. cos α +  cos2 α
    ⇒ (sin α - cos α)2 = sin2 α +  cos2 α - 2 sin α. cos α
    ⇒ (sin α - cos α)2 = 1 - 2 sin α. cos α
    Selanjutnya :
    (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
    ⇒ (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1
    Jadi, (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1.
  3. Buktikan bahwa sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α.

    Pembahasan
    sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α
    ⇒ sec2 α (sec2 α - 1) = tan2 α (tan2 α + 1)
    ⇒ sec2 α (tan2 α) = tan2 α (sec2 α)
    ⇒ sec2 α . tan2 α = sec2 α . tan2 α
    Jadi, sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α = sec2 α . tan2 α.
    Terbukti.
  4. Nyatakan setiap bentuk berikut ke dalam faktor-faktor yang paling sederhana.
    a. 1 - cos2 β
    b. sin2 α -  cos2 α
    c. tan2 α - 1
    d. sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α

    Pembahasan
    1. 1 - cos2 β
      Dari identitas sin2 β +  cos2 β = 1, maka diperoleh :
      ⇒ 1 - cos2 β = sin2 β
      Jadi, 1 - cos2 β = sin2 β.
    2. sin2 α -  cos2 α
      Dari identitas sin2 α +  cos2 α = 1, maka sin2 α  = 1 - cos2 α.
      ⇒ sin2 α -  cos2 α = 1 - cos2 α - cos2 α
      ⇒ sin2 α -  cos2 α = 1 - 2 cos2 α
      Karena 2 cos2 α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos2 α = - cos 2α.
      ⇒ sin2 α -  cos2 α = -cos 2α
      Jadi, sin2 α -  cos2 α = -cos 2α.
    3. tan2 α - 1
      Dari identitas 1 + tan2 α = sec2 α, maka tan2 α = sec2 α - 1
      ⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 1 - 1
      ⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 2
    4. sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = sin2 α + cos2 α - 2 sin α cos α
      ⇒ sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - 2 sin α cos α
      ⇒ sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - sin 2α
      Jadi,  sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - sin 2α .

  5. Buktikan tiap identitas trigonometri berikut.
    a. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3
    b. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
    c. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α

    Pembahasan
    1. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3
      ⇒ 1/3 (sin2 α + cos2 α) = 1/3
      ⇒ 1/3 (1) = 1/3
      ⇒ 1/3 = 1/3
      Terbukti.
    2. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
      Ingat bahwa sin2 α + cos2 α = 1, maka 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3.
      Dari 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3, maka 3 cos2 α = 3 - 3 sin2 α.
      ⇒ 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
      ⇒ 3 - 3 sin2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
      ⇒ 1 - 3 sin2 α = 1 - 3 sin2 α.
      Terbukti.
    3. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
      Dari 5 sin2 α + 5 cos2 α = 5, maka 5 sin2 α = 5 - 5 cos2 α.
      ⇒ 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
      ⇒ 3 + 5 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α
      ⇒ 8 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α.
      Terbukti. 

Contoh soal Identitas trigonometri dan Cara Penyelesaiannya

Baca Juga : Contoh Soal Trigonometri lengkap
rumus identitas trigonometri
rumus identitas trigonometri


Contoh 1: Membuktikan Identitas Trigonometri
Buktikan bahwa sin θ cot θ = cos θ.
Pembahasan Untuk membuktikan identitas ini, kita ubah bentuk ruas kiri menjadi bentuk ruas kanan.
Contoh 1 Pembahasan
Pada contoh ini, kita mengubah bentuk pada ruas kiri menjadi bentuk yang ada pada ruas kanan. Ingat, kita membuktikan identitas dengan mengubah bentuk yang satu menjadi bentuk yang lain.
Contoh 2: Membuktikan Identitas Trigonometri
Buktikan bahwa tan x + cos x = sin x (sec x + cot x).
Pembahasan Kita dapat memulainya dengan menerapkan sifat distributif pada ruas kanan untuk mengalikan suku-suku yang ada dalam kurung dengan sin x. Kemudian kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk yang ekuivalen serta memuat tan x dan cos x.
Contoh 2 Pembahasan
Dalam kasus ini, kita mengubah ruas kanan menjadi ruas kiri.
Sebelum kita lanjut ke contoh-contoh selanjutnya, mari kita daftar beberapa petunjuk yang mungkin berguna dalam membuktikan identitas-identitas trigonometri.

Petunjuk untuk Membuktikan Identitas
  1. Biasanya akan lebih mudah jika kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.
  2. Carilah bentuk yang dapat disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.
  3. Perhatikan operasi-operasi aljabar, seperti penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin dapat menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal dapat membimbing kita kepada bentuk yang dapat disederhanakan.
  4. Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut bisa membantu.
  5. Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.

1 Response to "Kumpulan Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri"