Contoh Soal dan Penyelesaian Suku Banyak dengan Teorema Sisa

SUKU BANYAK DAN TEOREMA SISA

Contoh soal 1
Suatu suku banyak f ( x ) dibagi ( x – 1 ) sisanya 3, sedangkan jika dibagi (x + 2 ) sisanya 6. Tentukan sisanya jika f ( x ) di bagi + x – 2 !
Jawab
Sesuai dengan teorema di atas :
f ( x ) dibagi ( x – 1 ) sisanya 3 atau f ( 1 ) = 3
f ( x ) dibagi ( x + 2 ) sisanya 6 atau f (–2) = 6
misal sisanya adalah a x + b
f ( 1 ) =    a   + b  = 3
f (–2) =  –2a + b  = 6  
   3a = –3 ,
     a = –1, b = 4
Jadi sisanya adalah a x + b = –x + 4

Contoh soal 2
Suku banyak P ( x ) dibagi ( – 2x ) sisanya 2x –3
Jika P ( x ) dibagi (– 3x ) sisanya ( x – 1 ) berapa sisanya jika P ( x ) dibagi – 5x + 6 ?
jawab
·         P ( x ) =  (– 2x ) . H ( x ) +  ( 2x – 3 )
P ( x ) = x ( x – 2 )   . H ( x ) +  ( 2x – 3 )
            x = 0   x = 2            P ( 2 ) = 2x –3
                                                             = 2. 2 – 3 = 1
·         P ( x ) =  (– 3x ) . H ( x ) +  ( x – 1 )
P ( x ) =  x ( x – 3 ) . H ( x ) +  ( x – 1 )
            x = 0   x = 3            P ( 3 ) = x – 1
                                                       = 3 – 1 = 2
·         P ( x ) =  ( – 5x + 6 )     . H ( x ) +  ax + b
P ( x ) =  ( x – 2 ) ( x – 3 ) . H ( x ) +  ax + b

x = 2           P (2 ) = 2a + b = 1
x = 3           P (3 ) = 3a + b = 2
                              –a = –1                        2a + b  = 1
  a = 1                          2.1 + b = 1, b = –1 

Jadi sisanya     ax + b
                                                1x – 1 = x – 1






Contoh contoh soal

1.      Suku banyak f ( x ) dibagi oleh (– 9) sisanya (5x – 13), dan jika dibagi oleh (x + 1) sisanya –10.
Sisa pembagian suku banyak oleh (– 2x – 3) adalah ….
A.    3x – 7                          D. – 4x – 6
B.     – 3x + 11                     E.  19x – 29
C.     4 ½x – 14 ½

Pembahasan :
f ( x ) =  (– 9) . H ( x ) + (5x – 13)
          =  (x + 3) . (x – 3) H (x) + (5x – 13)
f (–3) =  5 (–3) – 13 = – 28
f ( 3 ) =  5 (3) – 13 = 2
f ( x ) =  (x + 1) H (x) = -10
f (–1) =  –10
f ( x ) =  (– 2x – 3) . H (x) + s ( x )
         =  (x – 3) (x + 1) . H (x) + s ( x )
S (x) =  P (3) – (–1 )x         +  3P (–1)  P(3)
                3 – (– 1)                     3 – (–1)
         =  2 + 10 x   +   – 30 + 2 = 3x – 7
                  4                     4                       Jawab : A

2.      Tentukanlah akar-akar persamaan 2x3 – 5x2 + x + 2 = 0
A.    1, 2, – ½                      C.   1, –2                     E. –1, –2. ½
B.     –1, 2, ½                       D.   1, 2, ½

Pembahasan :
2x3 – 5x2 + x + 2 = 0
f (1) = 0
1                2          -5         1         2
                               2         -3         -2
                  2          -3         -2         0
 


2x3 – 5x2 + 2 = (x – 1) (2x2 – 3x – 2) = 0
à (x – 1) ( x – 2) (x + 1) = 0
à x1 = 1, x2 = 2, x3 = - ½                        Jawab : A

3.      Salah satu akar persamaan 2x3 + 7x2 + 2x – 3 = 0 adalah ½.
Jumlah dua akar yang lain adalah ….
A.    8          C.  3                E.  –8
B.     4          C.  –4

Pembahasan :
2x3 + 7x2 + 2x – 3 = 0 salah satu akarnya ½, dengan pembagian sintetik didapat :
 


à   ½        2          7          2          –3
                              1          4          3
                  2          8          6          0
à 2x2 + 8x + 6 = 0
à (2x + 2) (x + 3) = 0     ..   Jumlah kedua akar lainnya :
à 2x = –2 atau x = –3          (–1) + (–3) = (–4)
à   x = –1 atau x = –3                                                     Jawab : D

4.      Akar-akar persamaan px3 – 14x2 + 17x – 6 = 0 adalah x1, x2, dan x3.
Untuk x1 = 3, maka x1,  x2, x3 = ….
A.    –6                    C. –2               E.  2
B.     –14/3               D.  14/3

Pembahasan :
px3 – 14x2 + 17x – 6 = 0
salah satu akarnya x1 = 3 maka
p(3)3 – 14x2 + 17x – 6 = 0
27p – 126 + 51 – 6 = 0
27 – 81 = 0
27p = 81    p = 3
Jadi 3x3 – 14x2 + 17x – 6 = 0
a = 3, b = –14, c = 17, d = –6
x1 . x2 . x3  = – d/a
                  = – (–6) = 2
                         3                                                   Jawab : E

5.      Suatu suku banyaf (x) jika dibagi (x – 1) sisanya dan dibagi (x + 3) sisanya –2.
Bila f (x) dibagi (x2 + 2x – 3) sisanya adalah ….
A.    4x + 2              C. –2x + 8                   E. – ½x –6 ½
B.     2x + 4              D.  ½x + 5 ½

Pembahasan :
f (x) dibagi (x – 1) sisanya 6   à f (a) = f (1) = 6
f (x) dibagi (x + 3) sisanya –2 à f (b) = f (–3) = –2
sisa jika f (x) dibagi (x2 + 2x – 3)
S (x)  =  f (a) – f (b)x   +   af (b) – bf (a)
                  a – b                       a – b
          =  6 – (–2) x       +  1 (–2) – (–3 (6)
               1 – (–3)                   1 – (–3)
          =  8  x   +   16   = 2x + 4                                          Jawab : B
              4              4

6.      Diketahui x1, x2, x3 adalah akar-akar persamaan 2x3 – bx2 – 18x + 36 = 0
Tentukan :
a.       x1 + x2 + x3
b.      x1x2 + x1x3 + x2x3
c.       x1x2x3, jika x1 dan x2 berlawanan tanda
d.      tentukan nilai b
e.       untuk nilai b tersebut, tentukan x1, x2, dan x3

Pembahasan :
2x3 – bx2 – 18x + 36 = 0
a = 2
b = -b
c = -18
d = 36

a.       x1 + x2 + x3 = - b/a = - (-b)/2 = b/2
b.      x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = -18/2 = -9
c.       x1x2x3 = - d/a = -36/2 = -18
diketahui x2 = -x1
d.      Dari a didapat x1 + (-x1) + x3 = b/2
                                                       x3 = b/2
Dari b didapat x1 (-x1)  +  (-x1) x3 + x1x3   = -9
                                                            -x12 = -9
      Dari c didapat x1 (-x1) x3  = -18
                                    x12x3   = -18
                                 -9 (b/2)  = -18
                                    -9b      = -36
                                  b      =  4
e.       x12 = 9
x1 = 3 atau x1 = -3
x3 = b/2 = 4/2 = 2
Jadi, x1 = 3, x2 = -3, dan x3 = 2 atau
x1 = -3, x2 = 3 dan x3 = 2

7.      Suatu suku banyak F (x) dibagi oleh (x –2) sisanya 8, dan jika dibagi (x + 3) sisanya –7, sisa pembagian suku banyak F (x) oleh x2 + x – 6 adalah ….
A.    9x – 7              C.  2x + 3                    E.  3x + 2
B.     x + 6                D.  x – 4

Pembahasan :
F (x) = (x – 2) H (x) + 8 = > F (2)  = 8
F (x) = (x + 3) H (x) – 7 = > F (-3) = - 7
F (x) = (x2 + x – 6) H (x) + sisa
F (x) = (x – 2) (x + 3) H (x) + (ax + b)
F (2) =  2a  + b  =  8
F(-3) = -3a  + b = -7
            5a  =  15
            a    =  3
 dengan mensubstitusi a = 3 diperoleh b = 2
 Jadi sisa pembagian f (x) oleh x2 + x – 6 adalah 3x + 2
Jawab : E

8.      Persamaan asimtot dan hiperbola  (x – 2)2   -  (y + 3)2  = 1 adalah ….
     36              16
A.    y – 2 = 2/3 (x + 2) dan y –2 = –2/3 (x + 2)
B.     y – 3 = 2/3 (x – 2) dan y –3 = –2/3 (x – 2)
C.     y – 2 = 2/3 (x – 3) dan y –2 = –2/3 (x – 3)
D.    y – 3 = 2/3 (x + 2) dan y –3 = –2/3 (x + 3)
E.     y + 3 = 2/3 (x – 2) dan y +3 = –2/3 (x – 2)

Pembahasan :
Persamaan asimtot hiperbola         x2   –   y2  = 1
                                                      a2         b2
Adalah y = +  b  x
                                                           a
Persamaan asimtot hiperbola         (x – m)2  –  (y – n)2  = 1
                                                           a2                b2
Adalah y – n = +   b x
                                                                   a
Maka persamaan asimtot    (x – 2)2  –   (y + 3)2  = 1
36              16
                                                Adalah (y + 3) = + 4  (x – 2)
                                                                         6
(y + 3) = 2/3 (x – 2) dan (y + 3) = –2/3 (x – 2)
                                                                                          Jawab : E

9.      Suku banyak 6x3 + 7x2 + px – 24 habis dibagi oleh 2x – 3
Nilai p = ….
A.    –24                  C.  –8              E.  24
B.     –9                    D.  9

Pembahasan :
6x3 + 7x2 + px – 24 habis dibagi oleh 2x – 3
Jadi faktor dari suku banyak tersebut   3
                                                              2
3             6          7          p          -24
   2
                        9        24         3  (24 + p)
                                               2
          6             16     24 + p          0
 


-24 + 3/2 (24 + p) = 0
3/2 (24 + p) = 24
3 (24 + p) = 48
     24 + 9  = 16
         p      = -8
Jawab : C

10.  f (x) dibagi px + q sisanya adalah ….
A.    f (-q)                            D.  f (-q/p)
B.     f (p/q)                          E.  f (q/p)
C.     f (-q)
  p

Pembahasan :
Dalil sisa : f (x) : (x – a) sisanya f (a)
Bukti :
Misalkan hasil baginya H (x) dan sisanya S,
Maka f (x) : (x – a) = H (x) + sisa S
f (x) = (x – a) . H (x) + S
Untuk x = a maka f (a) = 0.  H (x) + S atau f (a) = S
Jadi f (x) dibagi px + q sisanya adalah  f ( -q )
                                                                    p
Jawab : D


0 Response to "Contoh Soal dan Penyelesaian Suku Banyak dengan Teorema Sisa"

Posting Komentar